当力学系统的Lagrange 函数的Hessian 矩阵不满秩（奇异动力系统），利用Legendre 变换，从Lagrange 体系过渡到Hamilton 体系描述时，在相空间中正则变量之间将存在固有内在约束（也称Dirac 约束），称为约束Hamilton 系统[1]。 现实中众多重要有用的系统均符合这类模型，它是力学界、控制界、数学界以及其他学术界共同关注的重要课题，它在近代理论物理（量子、光、电磁等）[2-4]、机械工程中机器人系统[5]、电力工业和自动化控制[6]等领域都有广阔的应用背景。 1940年末，Dirac[7-8]和Bergmann[9-10]首先开始了对此类系统的研究，他们最初的目的主要是为力学量子化和量子场论服务的。 近80年，约束Hamilton 系统动力学理论尤其是积分理论的研究得到了很大发展，取得了许多重要成果。 笔者在目前相关文献的基础上，就约束Hamilton 系统的对称性与守恒量问题进行总结归纳分析，并提出了进一步研究建议。

1 约束Hamilton 系统动力学的积分理论：对称性和守恒量

寻求力学系统的积分曲线是约束系统动力学的主要任务，其方法也是层出不穷和不断发展，从最初的场积分方法、势积分方法和雅可比最终乘子法到近代的各种对称性方法。 研究发现，系统的对称性和守恒量（首次积分、积分不变量等）紧密相关、相互影响。 通过系统对称性获得守恒量已是现代最实用普遍的方法。经典理论到量子理论的发展，将连续对称的研究（时空对称和内部对称）扩充到了分立对称的研究；微观领域规律的深入探索，将整体对称的分析扩充到了定域对称的研究。

1.1 经典水平下的对称性理论

1.1.1 变分原理与正则方程

对于约束Hamilton 系统，其结构特点就是存在固有内在约束[1，11]

此约束也必须满足虚位移和等时变分的限制性条件

固定边界条件的力学系统Hamilton 变分原理是指

对于独立和非独立的qi、pi只要合理选择约束乘子λj，合并（2）和（3）式，则得系统正则方程为

其中HT=H+λjΦj称为总Hamilton 函数。 奇异系统正则方程（4）式必须与基于D'Alembert-Lagrange 原理得到系统的位形空间运动方程等价。

这里需要说明一下关于约束乘子λj的求解，系统内在约束随时间的演化应该是稳定的，初级约束的时间微商为零，即约束的自恰性条件为

（5）式可能出现：（I）是恒等式；（II）是约束乘子的完全确定方程；（III）不完全方程，需导出新的次级约束。

（I）和（II）情况较简单，这里不赘述。 对于（III）情况，由于出现新的次级约束

次级约束同样满足相容性条件，对于有限自由度系统，重复上述步骤，可逐次得次级约束依次为

直至适合为止，最终得一系列约束和约束乘子的方程。

1.1.2 Noether 对称性

Noether 对称性是指Hamilton 作用量在无限小群变换下的一种不变性[12-13]。 由Noether 对称性可找到守恒量；反之，由守恒量可找到相应的Noethar 对称性。

对于约束Hamilton 系统，考虑系统奇异性导致的固有内在约束的Noether 等式为

上式中虽不出现生成元函数ηs，实际上ηs可由ξ0、ξk表示

而Noether 守恒量有形式

对于非保守约束Hamilton 系统，Noether 等式需增加与非保守力相关的项，而守恒量仍有形式（10）[14-15]。对非完整系统，除Noether 等式外，生成元还要受到非完整约束的限制[16-17]，守恒量仍有形式（10）。 要找到所有Noether 对称性也是不容易的，因为要解Killing 方程那样的偏微分方程。

问题1由Noether 对称性导出的守恒量被称为Noether 守恒量。 什么是非Noether 守恒量? 对于约束Hamilton 系统是否存在Noether 对称性还导致其他形式的守恒量？

1.1.3 Lie 对称性

Lie 对称性是利用系统的动力学方程在无限小群变换下的不变性寻求系统守恒量[18-19]。

对于约束Hamilton 系统，Lie 对称性的确定方程表为

内在约束的不变性归结为限制方程为

对于约束Hamilton 系统， 因为奇异性导致内在约束以及约束的限制条件， 需要将系统的Lie 对称性分成：Lie 对称性（生成元满足式（11））、弱Lie 对称性（生成元满足式（11）和（12））、强Lie 对称性（生成元满足式（11）、（12）和（2））。

Lie 对称性在一定条件下可导致多种形式守恒量， 若Lie 对称的生成元还同时满足结构方程即Noether等式（8），则约束Hamilton 系统Lie 对称同样导致Noether 型守恒量（10）[20]。

文章来源：《量子电子学报》 网址: http://www.lzdzxbzz.cn/qikandaodu/2021/0302/526.html

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